Sistem Koordinat dan Vektor

Pendahuluan

Aljabar linier merupakan representasi kuantitatif objek dan hubungan geometri. Tabel 5.1 mencantumkan hubungan paling penting antara geometri dan aljabar tersebut.

Sistem Koordinat

Sistem koordinat merupakan peralatan matematis untuk penamaan posisi di dalam ruang. Berdasarkan titik pandang geometri, suatu sistem koordinat merupakan kontruksi artifisial karena struktur objek ditetapkan dari hubungan antara bagian-bagian komponennya yang tidak tergantung dari rujukan eksternal. Meskipun demikian deskripsi objek geometri mengandung arti suatu sistem koordinat merupakan cara termudah menjelaskan struktur internal secara numerik dan hubungan antara posisi dan orientasi yang berbeda dari suatu objek di dalam ruang.

Tabel 5.1 Kamus Aljabar-Geometri

Aljabar	Geometri
Vektor	Titik di dalam ruang
Vektor standar	Jarak dari koordinat asal ke titik yang direpresentasikan oleh vektor
Produk dari dua vektor ternormalisasi	Kosinus dari sudut antara penggabungan garis asal ke titik yang direpresentasikan oleh dua vektor
Produk dari dua vektor = 0	Garis-garis yang menggabungkan titik ke asal yang tegak-lurus
Matriks	Transformasi linier yang mengubah posisi dan skala set titik
Perkalian vektor dengan matriks	Menentukan posisi akhir transformasi titik
Matriks determinan	Di bawah beberapa kondisi, suatu ukuran distorsi panjang dan sudut yang didahului transformasi
Matriks ortogonal	Transformasi yang menjaga panjang dan sudut konstan

Vektor

Dalam aljabar linier, suatu vektor ditetapkan sebagai bilangan berurutan. Suatu vektor dituliskan dalam bentuk baris: (x, y,z) atau dalam bentuk kolom: . Seringkali kita menggunakan huruf tebal (x) untuk menyatakan keseluruhan vektor: x = (x, y, z).

Interpretasi geometri suatu vektor sebagai posisi di dalam ruang memerlukan rujukan pada sistem koordinat. Titik apapun di dalam ruang tiga-dimensi berhubungan dengan tiga bilangan riil, titik koordinat x, y, dan z berdasarkan set aksis Kartesian. Sebaliknya, vektor apapun yang terdiri dari tiga bilangan riil khusus suatu titik di dalam ruang. Posisi did alam ruang berhubungan dengan vektor tertentu yang berubah jika sistem koordinat yang dipilih berbeda.

Perbedaan makna kata vektor yang digunakan dalam sains fisik merupakan kuantitas yang memiliki besaran dan arah. Dalam bahasa fisika klasik, istilah jari-jari vektor—suatu “vektor” dari asal ke titik—maknanya mendekati gagasan vektor yang dibahas di sini.

Soal 5-1. Visualisasikan atau konstruk grafik dalam dua dimensi dari interpretasi geometri 2-vektor (3,4) berdasarkan dua atau lebih sistem koordinat Kartesian. Sistem koordinat tersebut berbeda berdasarkan posisi asal dan arah aksisnya; namun demikian, aksis di dalam setiap kasus tegak-lurus satu sama lain. Gunakan skala yang sama. Manakah pernyataan berikut yang tidak tergantung sistem koordinat?

(a)    Titik di dalam ruang (yaitu, posisi relatif Anda terhadap dinding kamar) yang direpresentasikan vektor.

(b)   Arah (posisi relatif Anda terhadap dinding kamar) penggabungan garis asal pada titik representasi.

(c)    Jarak dari titik representasi ke asal.

(d)   Panjang proyeksi vektor bersama aksis-z.