Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Dua buah vektor atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangi. Ada beberapa cara penjumlahan dan pengurangan vektor.

1.      Cara Grafis

Cara ini menekankan pada cara menggambarnya. Yang termasuk dalam cara grafis adalah cara poligon, cara segitiga dan cara jajaran genjang.

a.      Cara Poligon

Berikut ini adalah langkah-langkah penjumlah vektor  dengan cara poligon.

                                                                                                                                                

	a
					a

Ø  gambarkan salah satu vektor yang kita pilih, misalnya vektor a

Ø 

a

Berikut menggambarkan vektor b dengan cara pangkal vektor b

berada diujung vektor a

Ø 

b

Kemudian gambarkan vektor c dengan cara yang sama

Ø  Gambarkan resultan vektor r yang merupakan jumlah dari  vektor a, b dan c  dengan cara menggambarkan vektor dari pangkal vektor a ke ujung vektor c, vektor resultan dinyatakan dengan besarnya atau penjang vektor resultan dan arahnya sesuai dengan hasil dari gambar yang didapat, seperti vektor berikut ini

a

                                      

b.      Cara Segitiga

Untuk cara segitiga, berlaku untuk tiap-tiap dua vektor. Semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor resultan dengan menghubungkan kedua ujung vektor tersebut.

                       

                      

                        

           

c.         Cara Jajaran Genjang

Untuk cara jajaran genjang, semua pangkal vektor-vektor yang akan dijumlahkan digabung menjadi satu titik tangkap. Kemudian gambarkan vektor bayangan masing-masing vektor. Selanjutnya gambarlah vektor resultan dari titik tangkap ke perpotongan vektor bayangan. Perhatikan contoh penjumlahan vektor secara jajaran genjang berikut ini.

b

                       

                      

	a

                        

           

Untuk vektor yang lebih dari dua; pertama kali tentukan a + b terlebih dahulu, kemudian ( a + b ) + c, perhatikan contoh berikut ini.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 

			b
					a

( a + b )+ c

                                                                                                                                                                                    

a + b

                                                                                                                                                                                         

c

b

                                                                                                                                      

                                                        

2. Cara analitis.

Masing-masing vektor diuraikan menjadi komponen-komponen vektor searah sumbu x dan sumbu y dari sistem koordinat Cartesius.

Vektor	a	v x = v cos a	v y = v sin a
v1 v2 v3	a1 a2 a3	v1 x = v cos a1 v2 x = v cos a2 v3 x = v cos a3	v1 y = v sin a1 v2 y = v sin a2 v3 y = v sin a3
		åv x = ................	åv y = ................

Menurut Bresnick besar Resultan vektor dan arah ditentukan dengan :

V_R  =                  Arah resultan :             tg q = 

 

C. Vektor dalam Bidang Datar

Dengan mendefinisikan vektor satuan i dan j yang masing-masing searah sumbu X dan Y, untuk vektor dua dimensi akan berlaku  r = x i + y j . Misalnya  posisi titik A pada gambar 3 berikut ini.

®

®

®

®

®

®

Hal yang sama ditunjukkan pada gambar 4 dengan mendefinisikan tiga vektor i,   j,   k,   yang masing-masing sejajar dengan sumbu X. Y dan Z diperoleh  r = x i + y j + z k.

Koordinat titik P(x, y, z) sebagai vektor tiga dimensi.                      

 j                                                                  

   Gambar 3. Vektor Dua dimensi                                                          Gambar 4. Vektor Tiga Dimensi

1.      Resultan Vektor-vektor dalam Bidang Datar  2 Dimensi (x,y)

 a. Segaris 

                                                                                  

                                                             

                                                                                                                                                                                

                                                                                                                                                   

                                   -                                                     -      

                                                                                                                                  

                                                                                

                

b.Vektor yang membentuk sudut

Besar resultan vektor a dan b dirumuskan:

a2 + b2 + 2ab.cos a

  =  

 = sudut apit antara vektor a dan b

Batas besar resultan yang mungkin antara vektor a dan b adalah:

 | a - b |   < r < a + b

Arah vektor terhadap vektor maupun vektor dapat ditentukan dengan rumus sinus sebagai berikut:    =  = 

c. Pengurangan Vektor

Selisih antara vektor a dan b, besarnya dirumuskan:

a2 + b2 – 2ab.cos a

r =                                                                                                                                                   

a = sudut apit antara vektor a dan b

                                          

2.      Menguraikan vektor menjadi komponen-komponen menurut sb. X dan sb. Y dalam satu bidang

Suatu vektor  dapat diuraikan menjadi vektor  dan  dimana masing-masing menyatakan vektor komponen dalam arah sb. X dan sb. Y. Besarnya vektor komponen  dan  adalah :  =   cos a dan   = sin a

 = 

a = sudut apit antara v dan sumbu X positif

Apabila yang membentuk sudut terhadap sumbu X lebih dari satu vektor maka:

 =  

Contoh soal:

1.      Dua buah vektor F₁ = 5 N, F₂ = 12 N membentuk sudut q = 60⁰, maka tentukan resultan dari  F₁ + F₂

 Jawab :

F12 + F22 + 2F1F2.cos q

 R =  

 R =  

 R  =  =  = 15,94

2.            Tentukan besar komponen gaya sumbu X dan Y

Jawab

F_x = F cos q = 60 cos 60^° = 60 x 0,5 = 30 N

F_y = F sin q  = 60 sin 60^°  = 60 x 0,5= 30 N

3.      Tentukan besar dan arah vektor yang memiliki komponen-komponen sebagai berikut :

a.          A_x = 3 cm, A_y = 4 cm

b.            F_x = -3 N, F_y =  N

Jawab:

a.                  

Ax2 + Ay2

…

A         =    =     =  5

                                     tg q     =   =   (kuadran I)            ®          q  =  53⁰

b.                 

Fx2 + Fy2

      F    =    =   =  

                                     tg q     =   =  (kuadrat II)           ®         q =  150⁰

4.  Hitunglah resultan gaya pada gambar di samping secara analitis!

Mengetahui:    F₁ = 40 N        F₂ = 60 N        F₃ = 30 N

Jawab:

R_x           =  F₁ cos q^° + F₂ cos (120^°) + F₃ cos (240^°)

            =  40 . 1 + 60 . - 0,5 + 30 . – 0,5

            =  40  - 30 – 15 = - 5

R_y        =  F₁ sin q^° + F₂ sin (120^°) + F₃ sin (240^°)

            =  40 . 0 + 60 . 0,5 + 30 . – 0,5

             =  0 + 30 – 15 = 15

Rx2 – Ry2

R =          =  =  = 15,81 - See more at: http://data-smaku.blogspot.com/2012/11/penjumlahan-dan-pengurangan-vektor.html#_